题目内容
【题目】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为
，③∠ABC
．
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F．
（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF
平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；
（2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．
【答案】（1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析
【解析】
（1）设PC的中点为H，连结FH，由题意得AGHF为平行四边形，则AF∥GH，由此能证明在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．
（2）选择①AB⊥BC，推导出AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择②FC与平面ABCD所成的角为
，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FM∥PA，且FM＝1，FM⊥平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为∠FCM，
，推导出AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择③∠ABC
，推导出PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，推导出 AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．
（1）在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．
证明如下：如图所示：
设PC的中点为H，连结FH，
因为
，
，
，
，
所以
所以四边形AGHF为平行四边形，
则AF∥GH，
又GH平面PGC，AF平面PGC，
∴AF∥平面PGC．
（2）选择①AB⊥BC：
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，
以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，1，1），P（0，0，2），
∴
（0，1，1），
（﹣2，﹣1，1），
设平面FAC的一个法向量为
（x，y，z），
∴
，
取y＝1，得
（﹣1，1，﹣1），
平面ACD的一个法向量为
（0，0，1），
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，
则cosθ
，
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为
．
选择②FC与平面ABCD所成的角为：
∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，
则FM∥PA，且FM＝1，
∴FM⊥平面ABCD，
FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴，
在Rt△FCM中，CM
，
又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP彼此两两垂直，
以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2，
∴A（ 0，0，0），B（ 
，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），
∴（0，1，1），（
，0，1），
设平面EAC的一个法向量为
（x，y，z），
则
，
取x，得（，﹣3，3），
平面ACD的一个法向量为：
（0，0，1），
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，
则cosθ
．
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为
．
选择③∠ABC：
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，
∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，
∵E是BC的中点，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP彼此两两垂直，
以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2，
∴A（ 0，0，0），B（ ，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），
∴（0，1，1），（，0，1），
设平面EAC的一个法向量为（x，y，z），
则，
取x，得（，﹣3，3），
平面ACD的法向量（0，0，1），
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，
θ则cosθ．
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．
