Question

【题目】某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．

（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；

（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；

（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k（k∈(1，2n））；③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？

（参考数据：；若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．

Answer 1

【答案】（1）（2）182；（3）n应该是10．

【解析】

（1）求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，由此能求出恰有1人预赛成绩优良的概率．

（2）根据频率分布直方图求得样本中的100名学生预赛成绩的平均值53，则μ＝53，由σ2＝362，得σ＝19，从而P（Z≥91）＝P（Z≥μ+2σ）求解.

（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～B（n，0.7），且Eξ＝0.7n，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ，EX＝1.5Eξ＝1.05n，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：0.1×（1+2+3+…+n）＝0.05（n2+n），设甲答完n题的分数为M（n），则M（n）＝100﹣0.05（n2+n）+1.05n＝﹣0.05（n﹣10）2+105，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n的值．

（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有：

（0.0125+0.0075）×20×100＝40人，

其中成绩优良的人数为0.0075×20×100＝15人，

记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C，

则恰有1人预赛成绩优良的概率：

P（C）．

（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：

10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15＝53，则μ＝53，

又由σ2＝362，∴σ＝19，

∴P（Z≥91）＝P（Z≥μ+2σ）0.02275，

∴估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为：

8000×0.02275＝182，

即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182．

（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～B（n，0.7），且Eξ＝0.7n，

记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ，

∴EX＝1.5Eξ＝1.05n，

依题意为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：

0.1×（1+2+3+…+n）＝0.05（n2+n），

设甲答完n题的分数为M（n），

则M（n）＝100﹣0.05（n2+n）+1.05n＝﹣0.05（n﹣10）2+105，

由于n∈N*，∴当n＝10时，M（n）取最大值105，即复赛成绩的最大值为105．

∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．