题目内容
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单
位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
①求a的值;
②若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
①a=2②4元/千克
【解析】①因为x=5时,y=11,∴+10=11,∴a=2.
②由①知,y=+10(x-6)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.∴f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).
当3<x<4时,f′(x)>0;4<x<6时,f′(x)<0.∴f(x)在(3,4)上递增,(4,6)上递减.
当x=4时,f(x)取得最大值,f(4)=42.
即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得利润最大.
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