Question

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形，斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．

①某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

②某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

 

Answer 1

①x＝15②

【解析】设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.

则a＝x，h＝＝ (30－x)，0<x<30.

①S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

所以，当x＝15时，S取得最大值．

②V＝a2h＝2 (－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．

令V′＝0得x＝0或x＝20.

当0<x<20时，V′>0；当20<x<30时，V′<0.

所以，当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.