题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.
(1)求B点到平面PCD的距离;
(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)取中点为
,连接
,可以证明
平面
,
,故可建立如图所示的空间直角系,计算出平面
的法向量
及
后可得点
到平面
的距离.
设,用
表示
的坐标,从而平面
的法向量也可以用
表示,根据二面角的余弦值为
可得到
的值从而得到
.
在中,
,
为
中点,∴
.
又∵侧面底面
,平面
平面
,
平面
,∴
平面
.
在中,
,
,∴
.
在直角梯形中,
为
的中点,
,∴
.
以为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,
(1)∴.
设平面的法向量为
,
则即
取
,得
.
则点到平面
的距离
.
(2)设
.∵
,∴
,
∴,∴
,∴
.
设平面的法向量为
,
则即
,取
,得
.
平面的一个法向量为
,
∵二面角的余弦值为
,
∴.
整理化简,得.解得
或
(舍去),∴存在,且
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校高三数学竞赛初赛考试后,对考生的成绩进行统计(考生成绩均不低于90分,满分150分),将成绩按如下方式分成六组,第一组[90,100)、第二组[100,110)…第六组[140,150].图(1)为其频率分布直方图的一部分,若第四、五、六组的人数依次成等差数列,且第六组有4人. (Ⅰ)请补充完整频率分布直方图,并估计这组数据的平均数M;
(Ⅱ)若不低于120分的同学进入决赛,不低于140分的同学为种子选手,完成下面2×2
列联表(即填写空格处的数据),并判断是否有99%的把握认为“进入决赛的同学
成为种子选手与专家培训有关”.
| [140,150] | 合计 | |
参加培训 | 5 | 8 | |
未参加培训 | |||
合计 | 4 |
附:
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |