题目内容
【题目】四棱锥
中，底面
为矩形， 
.侧面
底面
.
（1）证明： 
；
（2）设
与平面
所成的角为
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】【试题分析】（1）设
中点为
，连接
，由已知
，所以
，根据面面垂直的性质定理，有
平面
，以
为原点， 
为
轴， 
为
轴，建立空间直角坐标系，计算
可得证.（2）设
，利用直线
和平面
所成角为
，计算
，再利用平面
和平面
的法向量计算二面角的余弦值.
【试题解析】
解：（1）证法一：设
中点为
，连接
，
由已知
，所以
，
而平面
平面
，交线为
故
平面
以
为原点， 
为
轴， 
为
轴，如图建立空间直角坐标系，并设
，
则
所以
，所以
.
证法二：设
中点为
，连接
，由已知
，所以
，
而平面
平面
，交线为
故
平面
，从而
①
在矩形
中，连接
，设
与
交于
，
则由
知
，所以
所以
，故
②
由①②知
平面
所以
.
（2）由
，平面
平面
，交线为
，可得
平面
，
所以平面
平面
，交线为
过
作
，垂足为
，则
平面
与平面
所成的角即为角
所以
从而三角形
为等边三角形，
（也可以用向量法求出
，设
，则
，可求得平面
的一个法向量为
，而
，由
可解得
）
设平面
的一个法向量为
，则
，
， 可取
设平面
的一个法向量为
，则
，
，可取
于是
，
故二面角
的余弦值为
.
【题目】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间
（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数
和中位数
（的值精确到0.01）；
（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为
，
的学生中抽取9名参加座谈会．
（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；
（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有
的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？
阅读时间不足8.5小时 | 阅读时间超过8.5小时 | |
理工类专业 | 40 | 60 |
非理工类专业 |
附：
（
）.
临界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
<> | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的
下降到2018年底的
，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：
年份（ | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
贫困发生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于
的概率；
（2）设年份代码
，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率．
附：回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式为：
，
.
【题目】随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车。为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
每周使用次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成
列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户.
① 求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；
②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为
，求
的分布列及数学期望．
附表及公式： 
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
