题目内容
【题目】四棱锥中,底面
为矩形,
.侧面
底面
.
(1)证明: ;
(2)设与平面
所成的角为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】【试题分析】(1)设中点为
,连接
,由已知
,所以
,根据面面垂直的性质定理,有
平面
,以
为原点,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,计算
可得证.(2)设
,利用直线
和平面
所成角为
,计算
,再利用平面
和平面
的法向量计算二面角的余弦值.
【试题解析】
解:(1)证法一:设中点为
,连接
,
由已知,所以
,
而平面平面
,交线为
故平面
以为原点,
为
轴,
为
轴,如图建立空间直角坐标系,并设
,
则
所以
,所以
.
证法二:设中点为
,连接
,由已知
,所以
,
而平面平面
,交线为
故平面
,从而
①
在矩形中,连接
,设
与
交于
,
则由知
,所以
所以,故
②
由①②知平面
所以.
(2)由,平面
平面
,交线为
,可得
平面
,
所以平面平面
,交线为
过作
,垂足为
,则
平面
与平面
所成的角即为角
所以
从而三角形为等边三角形,
(也可以用向量法求出,设
,则
,可求得平面
的一个法向量为
,而
,由
可解得
)
设平面的一个法向量为
,则
,
, 可取
设平面的一个法向量为
,则
,
,可取
于是,
故二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数
(
的值精确到0.01);
(2)为查找影响学生阅读时间的因素,学校团委决定从每周阅读时间为,
的学生中抽取9名参加座谈会.
(i)你认为9个名额应该怎么分配?并说明理由;
(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多.请根据200名学生的调研数据,填写下面的列联表,并判断是否有的把握认为学生阅读时间不足(每周阅读时间不足8.5小时)与“是否理工类专业”有关?
阅读时间不足8.5小时 | 阅读时间超过8.5小时 | |
理工类专业 | 40 | 60 |
非理工类专业 |
附:(
).
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
<>![]() | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】改革开放以来,我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困,贫困发生率由1978年的下降到2018年底的
,创造了人类减贫史上的中国奇迹,为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表:
年份( | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
贫困发生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
(1)从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个,求两个都低于的概率;
(2)设年份代码,利用回归方程,分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况,并预测2019年的贫困发生率.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为:
,
.
【题目】随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广,越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车。为了研究广大市民在共享单车上的使用情况,某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查,得到如下数据:
每周使用次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
(1)如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”,请完成列表(见答题卡),并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下,认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关?
(2)每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”,视频率为概率,在我市所有“骑行达人”中,随机抽取4名用户.
① 求抽取的4名用户中,既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率;
②为了鼓励女性用户使用共享单车,对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元,记奖励总金额为,求
的分布列及数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |