题目内容
【题目】若无穷数列满足:
,当
',
时,
(其中
表示
,
,…,
中的最大项),有以下结论:
① 若数列是常数列,则
;
② 若数列是公差
的等差数列,则
;
③ 若数列是公比为
的等比数列,则
:
④ 若存在正整数,对任意
,都有
,则
,是数列
的最大项.
其中正确结论的序号是____(写出所有正确结论的序号).
【答案】①②③④
【解析】
①令n=2,=
,若数列
是常数列,则
,所以
,即得
;②若数列
是等差数列,则
=max{
,
,…,
}=|d|,
有最大值,只能递减;③若数列
是等比数列,令n=2,
=
,所以
或
(舍);④
,为周期数列,可先假设
最大,由
易证得
,所以
最大.
解:①若数列是常数列,则
=max{
,
,…,
}=0,所以
(
),①正确;
②若数列是公差d≠0的等差数列,则
=max{
,
,…,
}=|d|,所以
有最大值,因此
不可能递增且d≠0,所以d<0,②正确;
③若数列是公比为q的等比数列,则
,且
=
=
,所以
,所以
或
,又因为
,所以
,所以q>1,③正确;
④若存在正整数T,对任意,都有
,假设在
中
最大,则
中都是
最大,则
=
,且
,即
=
,所以
,所以
是数列
的最大项,④正确.
故答案为:①②③④.
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