题目内容
(本题满分14分)已知椭圆的离心率为,右焦点也是抛物线的焦点。
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与相交于、两点。
①若,求直线的方程;
②若动点满足,问动点的轨迹能否与椭圆存在公共点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与相交于、两点。
①若,求直线的方程;
②若动点满足,问动点的轨迹能否与椭圆存在公共点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。
(1)根据,即,据得,故,
所以所求的椭圆方程是。(3分)
(2)①当直线的斜率为时,检验知。设,
根据得得。
设直线,代入椭圆方程得,
故,得,
代入得,即,
解得,故直线的方程是。 (8分)
②问题等价于是不是在椭圆上存在点使得成立。
当直线是斜率为时,可以验证不存在这样的点,
故设直线方程为。(9分)
用①的设法,点点的坐标为,
若点在椭圆上,则,
即,
又点在椭圆上,故,
上式即,即,
由①知
,
代入得,
解得,即。(12分)
当时,,
;
当时,,
。
故上存在点使成立,
即动点的轨迹与椭圆存在公共点,
公共点的坐标是。(14分)
所以所求的椭圆方程是。(3分)
(2)①当直线的斜率为时,检验知。设,
根据得得。
设直线,代入椭圆方程得,
故,得,
代入得,即,
解得,故直线的方程是。 (8分)
②问题等价于是不是在椭圆上存在点使得成立。
当直线是斜率为时,可以验证不存在这样的点,
故设直线方程为。(9分)
用①的设法,点点的坐标为,
若点在椭圆上,则,
即,
又点在椭圆上,故,
上式即,即,
由①知
,
代入得,
解得,即。(12分)
当时,,
;
当时,,
。
故上存在点使成立,
即动点的轨迹与椭圆存在公共点,
公共点的坐标是。(14分)
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