题目内容
已知点P与定点F
的距离和它到定直线l:
的距离之比是1 : 2.
(1)求点P的轨迹C方程;
(2)过点F的直线交曲线C于A, B两点, A, B在l上的射影分别为M, N.
求证AN与BM的公共点在x轴上.
的距离和它到定直线l:的距离之比是1 : 2.(1)求点P的轨迹C方程;
(2)过点F的直线交曲线C于A, B两点, A, B在l上的射影分别为M, N.
求证AN与BM的公共点在x轴上.
（1）
（2）见解析
（2）见解析(1) 如图(1) 设P点的坐标为
,
则由题设得:
,
化简得:
,
即
即.
∴点P的轨迹C的方程是.
(2) ①当AB轴时, A、B的坐标分别为
, 
,
AN与BM的交点为
在x轴上.
②当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为
,
代入椭圆,得
设
, 
, 则
, 
,
且
∵直线AN方程是
,
直线BM方程是
.
联列, 得
, 消去y, 得: 
.
即
即
,
把
代入直线AN的方程
得
∴AN与BM交于点是x轴上一定点.
(2) 解法二:如图(2) 当AB不垂直于x轴时,
设AF＝n, 则AM＝2n, 设BF＝m, 则BN＝2m,
在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH1∥BN,
∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH1
∴
同理可推, ∴
,
∴
,∴H与H1重合，∴AN与BM交点是x轴上一定点.
, 则由题设得:,化简得:
,即
即.∴点P的轨迹C的方程是
.(2) ①当AB轴时, A、B的坐标分别为
, ,AN与BM的交点为
在x轴上.②当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为
,代入椭圆
,得设
, , 则, ,且
∵直线AN方程是,直线BM方程是
.联列, 得
, 消去y, 得: .即
即,把
代入直线AN的方程得
∴AN与BM交于点是x轴上一定点. (2) 解法二:如图(2) 当AB不垂直于x轴时,
设AF＝n, 则AM＝2n, 设BF＝m, 则BN＝2m,
在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH1∥BN,
∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH1∴
同理可推, ∴
, ∴
,∴H与H1重合，∴AN与BM交点是x轴上一定点. 
练习册系列答案
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与椭圆
相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.
；
的面积取得最大值时的椭圆方程．
上一点，左、右焦点分别为F1，F2。
，求
之值。
的离心率为
，右焦点
也是抛物线
的焦点。 
与
相交于
、
两点。
,求直线
满足
，问动点
截圆柱体,截口是一条封闭曲线,且截面与底面所成的
=1(
)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
的方程；
与椭圆
、
两点，坐标原点
到直线
，求△
面积的最大值.
+
=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ ）
=1(a>b>0)的左焦点F,A(-a,0)、B(0,b)是两个顶点.如果F到直线AB的距离等于
,那么椭圆的离心率为（ ）
，求椭圆的方程。