题目内容
【题目】已知函数.
(I)当时,求
的单调区间和极值;
(II)若对于任意,都有
成立,求k的取值范围;
(Ⅲ)若,且
,证明:
.
【答案】(I)极小值为,无极大值;(II)
;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意x>0,由此根据k≤0,k>0利用导数性质分类讨论,能求出函数f(x)的单调区间和极值.
(2)问题转化为,对于x∈[e,e2]恒成立,令
,则
,令
,由此利用导数性质能求出实数k的取值范围.
(3)设,则
,要证
,只要证
,即证
,由此利用导数性质能证明
.
试题解析:
(1),
①时,因为
,所以
,
函数的单调递增区间是
,无单调递减区间,无极值;
②当时,令
,解得
,
当时,
;当
,
.
所以函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
在区间上的极小值为
,无极大值.
(2)由题意,,
即问题转化为对于
恒成立,
即对于
恒成立,
令,则
,
令,则
,
所以在区间
上单调递增,故
,故
,
所以在区间
上单调递增,函数
.
要使对于
恒成立,只要
,
所以,即实数k的取值范围为
.
(3)证法1 因为,由(1)知,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,且
.
不妨设,则
,
要证,只要证
,即证
.
因为在区间
上单调递增,所以
,
又,即证
,
构造函数,
即,
.
,
因为,所以
,即
,
所以函数在区间
上单调递增,故
,
而,故
,
所以,即
,所以
成立.
证法2 要证成立,只要证:
.
因为,且
,所以
,
即,
,
即,
,同理
,
从而,
要证,只要证
,
令不妨设,则
,
即证,即证
,
即证对
恒成立,
设,
,
所以在
单调递增,
,得证,所以
.
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