题目内容
【题目】已知数列{an}满足3(n+1)an=nan+1(n∈N*),且a1=3,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)若 =
,求证:
≤
+
+…+
<1.
【答案】
(1)解:∵数列{an}满足3(n+1)an=nan+1(n∈N*),且a1=3,∴ =
,
∴an= …
=3n﹣1
…
×3=n3n
(2)解:数列{an}的前n项和Sn=3+2×32+3×33+…+n3n,
3Sn=32+2×33+…+(n﹣1)3n+n3n+1,
∴﹣2Sn=3+32+…+3n﹣n3n+1= ﹣n3n+1,
∴Sn= ×3n+1+
(3)证明: =
,∴
=
=
=
﹣
.
∴ +
+…+
=
+
+…+
=1﹣
∈
.
∴ ≤
+
+…+
<1
【解析】(1)数列{an}满足3(n+1)an=nan+1(n∈N*),且a1=3,可得 =
,利用“累乘求积”方法即可得出.(2)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.(3)
=
,可得
=
=
=
﹣
.利用“裂项求和方法”与数列的单调性即可得出.
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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