Question

设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．
(1)当a＝时，求f；
(2)若x₀满足f[f(x₀)]＝x₀，但f(x₀)≠x₀，则称x₀为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x₁，x₂；
(3)对于(2)中的x₁，x₂，设A(x₁，f[f(x₁)])，B(x₂，f[f(x₂)])，C(a²，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）（2）见解析，x₁＝，x₂＝（3）最小值为，最大值为

(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.
(2)证明：f[f(x)]＝
当0≤x≤a²时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；
当a²<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a²，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；
当a<x<a²－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a²－a＋1)，
因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；
当a²－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a²－a＋1，1)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．
因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x₁＝，x₂＝.
(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，
S′(a)＝·.
因为a∈[，]，有a²＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a³－2a²－2a＋2，g′(a)＝3a²－4a－2＝3(a－)(a－)，
因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a³－2a²－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.