题目内容

已知命题p:方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:?x∈(0,+∞),k>x+
1
x
.如果命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求k的取值范围.
考点:复合命题的真假
专题:简易逻辑
分析:先化简命题p和q,命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假得p,q中一真一假,列出不等式组,解出实数a的取值范围.
解答: 解:命题p:方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,化为标准形式为
x2
2
+
y2
2
k
=1,则
2
k
>2,解得0<k<1;
命题q:?x∈(0,+∞),k>x+
1
x
≥2,则k>2;
如果命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,则p,q一真一假,
若p真q假,则
0<k<1
k≤2
,则0<k<1,
若p假q真,则
k≤0,或k≥1
k>2
,则k≤0或1≤k<2,
则k的取值范围是k<2.
点评:本题主要考查复合命题的真假,椭圆的标准方程以及恒成立问题的转化,注意a<f(x)恒成立等价于a<f(x)的最小值,属于综合题,考查推理和解不等式的能力.
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