题目内容

已知两点M（-1，0）、N（1，0），动点P（x，y）满足|
MN
|•|
NP
|-
MN
•
MP
=0，
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点，F（1，0），λ∈R，
FP1
=λ
FP2
，求证：
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=1．
解 （1）|
MN
|=2；则
MP
=(x+1，y)，
NP
=(x-1，y)
由|
MN
|•|
NP
|-
MN
•
MP
=0，则2
(x-1)2+y2
-2(x+1)=0，
化简整理得y2=4x
（2）由
FP1
=λ•
FP2
，得F、P1、P2三点共线，
设P1（x1，y1）、P2（x2，y2），直线P1P2的方程为：y=k（x-1）
代入y2=4x得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0则x1•x2=1，x1+x2=
2k2+4
k2

∴
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=
1
x1+1
+
1
x2+1
=
x1+x2+2
x1x2+(x1+x2)+1
=1
当P1P2垂直x轴时，结论照样成立．
练习册系列答案
相关题目
抛物线的顶点在原点O，焦点为椭圆
x2
3
+
y2
2
=1的右焦点F．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点P在抛物线上运动，求P到直线y=x+3的距离的最小值，并求此时点P的坐标．
过双曲线
x2
3
-
y2
6
=1的右焦点F，倾斜角为30°的直线交此双曲线于A，B两点，求|AB|．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=8x的焦点为F．椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率e=
1
2
，并以F为一个焦点．
（1）求椭圆Σ的标准方程；
（2）设A1A2是椭圆Σ的长轴（A1在A2的左侧），P是抛物线C在第一象限的一点，过P作抛物线C的切线，若切线经过A1，求证：tan∠A1PA2=
2
．
F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，Q是双曲线上动点，从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（　　）的一部分．
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
已知椭圆的两焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．
椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，
|CD|
|AB|
=2
2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（Ⅲ）求
F2A
•
F2B
的最值．
设抛物线y2=4x被直线y=2x+b所截得的弦长为3
5
，则b=______．

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