题目内容
已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
1 |
2 |
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
(1)设椭圆方程为
+
=1(a>b>0)
∵椭圆E经过点A(2,3),离心率e=
∴
,
∴a2=16,b2=12
∴椭圆方程E为:
+
=1;
(2)F1(-2,0),F2(2,0),
∵A(2,3),
∴AF1方程为:3x-4y+6=0,AF2方程为:x=2
设角平分线上任意一点为P(x,y),则
=|x-2|.
得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率为正,∴直线方程为2x-y-1=0;
(3)假设存在B(x1,y1)C(x2,y2)两点关于直线l对称,∴kBC=-
∴直线BC方程为y=-
x+m代入
+
=1得x2-mx+m2-12=0,
∴BC中点为(
,
)
代入直线2x-y-1=0上,得m=4.
∴BC中点为(2,3)与A重合,不成立,所以不存在满足题设条件的相异的两点.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵椭圆E经过点A(2,3),离心率e=
1 |
2 |
∴
|
∴a2=16,b2=12
∴椭圆方程E为:
x2 |
16 |
y2 |
12 |
(2)F1(-2,0),F2(2,0),
∵A(2,3),
∴AF1方程为:3x-4y+6=0,AF2方程为:x=2
设角平分线上任意一点为P(x,y),则
|3x-4y+6| |
5 |
得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率为正,∴直线方程为2x-y-1=0;
(3)假设存在B(x1,y1)C(x2,y2)两点关于直线l对称,∴kBC=-
1 |
2 |
∴直线BC方程为y=-
1 |
2 |
x2 |
16 |
y2 |
12 |
∴BC中点为(
m |
2 |
3m |
4 |
代入直线2x-y-1=0上,得m=4.
∴BC中点为(2,3)与A重合,不成立,所以不存在满足题设条件的相异的两点.
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