题目内容

已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=
1
2

(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

∵椭圆E经过点A(2,3),离心率e=
1
2

a2-b2
a
=
1
2
4
a2
+
9
b2
=1

∴a2=16,b2=12
∴椭圆方程E为:
x2
16
+
y2
12
=1

(2)F1(-2,0),F2(2,0),
∵A(2,3),
∴AF1方程为:3x-4y+6=0,AF2方程为:x=2
设角平分线上任意一点为P(x,y),则
|3x-4y+6|
5
=|x-2|

得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率为正,∴直线方程为2x-y-1=0;
(3)假设存在B(x1,y1)C(x2,y2)两点关于直线l对称,∴kBC=-
1
2

∴直线BC方程为y=-
1
2
x+m
代入
x2
16
+
y2
12
=1
得x2-mx+m2-12=0,
∴BC中点为(
m
2
3m
4
)

代入直线2x-y-1=0上,得m=4.
∴BC中点为(2,3)与A重合,不成立,所以不存在满足题设条件的相异的两点.
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