Question

12．函数y=log₂x+log_x（2x）的值域为（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． [3，+∞）
• C． [1，3]
• D． （-∞，-1]∪[3，+∞）

Answer 1

分析 函数y=log₂x+log_x（2x）=log₂x+log_x2+1，设t=log₂x，则y=f（t）=t+$\frac{1}{t}$+1，对x与t分类讨论：利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：函数y=log₂x+log_x（2x）=log₂x+log_x2+1，
设t=log₂x，则y=f（t）=t+$\frac{1}{t}$+1，
当x＞1时，t＞0，∴f（t）≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+1=3，当且仅当t=1即x=2时取等号；
当0＜x＜1时，t＜0，∴f（t）=-$（t+\frac{1}{t}）$+1≤-2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+1=-1，当且仅当t=-1即x=$\frac{1}{2}$时取等号．
综上可得：函数f（x）的值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了分类讨论方法、对数函数的单调性、基本不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．