题目内容
【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于
,抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则抛物线
上的动点
到直线
和
距离之和的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】分析:由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出,从而可确定双曲线的方程和焦点坐标,进而得到抛物线的方程和焦点,然后根据抛物线的定义将点M到直线
的距离转化为到焦点的距离,最后结合图形根据“垂线段最短”求解.
详解:由双曲线方程可得,
双曲线的右顶点为,渐近线方程为
,即
.
∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于,
∴,解得
,
∴双曲线的方程为,
∴双曲线的焦点为.
又抛物线的焦点与双曲线
的右焦点重合,
∴,
∴抛物线的方程为,焦点坐标为
.如图,
设点M到直线的距离为
,到直线
的距离为
,则
,
∴.
结合图形可得当三点共线时,
最小,且最小值为点F到直线
的距离
.
故选B.
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