Question

【题目】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，

∴a=0.3

（2）

解：由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，

由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万

（3）

解：由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；

月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；

则x=2.5+0.5× =2.9吨

【解析】（1）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；
（2）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；
（3）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．
本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征的相关知识点，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差．在随机抽样中，这种偏差是不可避免的才能正确解答此题．