Question

【题目】已知函数
（1）若f（x）在[1，e]上的最小值为 ，求a的值；
（2）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= + = 令f′（x）＜0得x＜﹣a，令f′（x）＞0，得x＞﹣a，

①﹣a≤1，即a≥﹣1时，f（x）在[1，e]上单增，f（x）最小值=f（1）=﹣a= ，a=﹣ ＜﹣1，不符，舍；

②﹣a≥e，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上单减，f（x）最小值=f（e）=1﹣ = ，a=﹣ ＞﹣e，不符，舍；

③1＜﹣a＜e，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上单减，在[﹣a，e]上单增，f（x）最小值=f（﹣a）=ln（﹣a）+1= ，a=﹣ ，满足；

综上a=﹣ ．

（2）解：由题意，只需a＞xlnx﹣x3，x∈（1，+∞）恒成立，

令h（x）=xlnx﹣x3，h'（x）=lnx+1﹣3x2，h'（x）= ﹣6x= ＜0 在（1，+∞）上恒成立，

∴h'（x）在（1，+∞）上单减，又h'（1）=﹣2＜0，

∴h'（x）＜0 在（1，+∞）上恒成立，h（x）在（1，+∞）上单减，又h（1）=﹣1，

∴h（x）＜﹣1在（1，+∞）上恒成立，

∴a≥﹣1

【解析】（1）求导，令f′（x）=0得x=﹣a，以﹣a在[1，e]内，左，右分为三类来讨论，函数在[1，e]上的单调性，进而求出最值，令其等于 ，求出a的值，由范围来取舍，得了a的值．（2）将f（x）代入不等式，分离出a，写在不等式的左边，设右边为函数h（x），求导，再求导，得出导数的正负，从而得出h'（x）的单调性，求最值，得出h'（x）的正负，得出h（x）的单调性，求出h（x）的最小值，得出a的取值范围．
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．