题目内容
【题目】已知为定义在
上的奇函数,当
时,函数解析式为
.
(Ⅰ)求的值,并求出
在
上的解析式;
(Ⅱ)求在
上的最值.
【答案】(Ⅰ)在
上的解析式为f(x)=2x-4x ;(Ⅱ)函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0,-2.
【解析】
试题(Ⅰ)由于f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,故f(0)=0,即f(0)==1-=0.从而
=1.
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0].由f(-x)=-f(x)即可得在
上的解析式.(Ⅱ)当x∈[0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x)2,设t=2x(t>0),则f(t)=t-t2.这样转化为求二次函数在给定区间上的最大值,最大值.
试题解析:解:(Ⅰ)∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且f(x)在x=0处有意义,
∴f(0)=0,即f(0)==1-=0.
∴=1.
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0].
∴f(-x)=-
=4x-2x.
又∵f(-x)=-f(x)
∴-f(x)=4x-2x.
∴f(x)=2x-4x.
所以,在
[上的解析式为f(x)=2x-4x
(Ⅱ)当x∈[0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x)2,
∴设t=2x(t>0),则f(t)=t-t2.
∵x∈[0,1],∴t∈[1,2].
当t=1时,取最大值,最大值为1-1=0.
当t=0时,取最小值为-2.
所以,函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0,-2.
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