题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α
的直线l的参数方程为
(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sin θ＝0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P(1,0)．若点M的极坐标为
，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
【答案】(1)见解析;(2)3
.
【解析】试题分析：（1）由参数方程化为直角坐标方程和极坐标化为直角坐标方程得到直角坐标方程；（2）联立直线和曲线方程得到关于t的二次，根据中点坐标公式得到点Q对应的参数值为
，进而得到PQ的值.
解析：
(1)∵直线l的参数方程为
(t为参数)，∴直线l的普通方程为y＝tan α·(x－1)．
由ρcos2θ－4sin θ＝0得ρ2cos2θ－4ρsin θ＝0，
即x2－4y＝0.
∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.
(2)∵点M的极坐标为
，
∴点M的直角坐标为(0,1)．
∴tan α＝－1，直线l的倾斜角α＝
.
∴直线l的参数方程为
(t为参数)．
代入x2＝4y，得t2－6
t＋2＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.
∵Q为线段AB的中点，
∴点Q对应的参数值为
＝
＝3.
又点P(1,0)，则|PQ|＝
＝3.
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