Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos²x），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件通过向量的数量积求出函数的解析式，求才函数的周期以及单调增区间．
（Ⅱ）利用角的范围，求出相位的范围，然后求出值域．

解答 解：（Ⅰ）依题意向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos²x），
函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos}^{2}x$$+\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
得$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$…（3分）
∴f（x）的最小正周期是：T=π…（4分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$解得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z．
从而可得函数f（x）的单调递增区间是：$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]，k∈Z$…（6分）
（Ⅱ）由$0＜x＜\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{6}＜2x-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$…（9分）
从而可得函数f（x）的值域是：$（-\frac{1}{2}，1]$…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，向量的数量积的应用，三角函数的周期的求法，考查计算能力．