题目内容

11.已知g(x)=ax+1,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2{\;}^{x}-1,0≤x≤2}\\{-x{\;}^{2},-2≤x<0}\end{array}\right.$,对?x1∈[-2,2],?x2∈[-2,2],使g(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围.

分析 作出函数f(x)的图象,根据条件求出两个函数最值之间的关系,结合数形结合即可得到结论.

解答 解:作出函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2{\;}^{x}-1,0≤x≤2}\\{-x{\;}^{2},-2≤x<0}\end{array}\right.$,的图象如图:
则当x∈[-2,2],f(x)的最大值为f(2)=3,最小值f(-2)=-4,
若a=0,g(x)=1,此时满足?x1∈[-2,2],?x2∈[-2,2],
使g(x1)=f(x2)成立,
若a≠0,则直线g(x)过定点B(0,1),
若a>0,要使对?x1∈[-2,2],?x2∈[-2,2],
使g(x1)=f(x2)成立,
则满足g(x)max≤f(x)max,且g(x)min≥f(x)min
即2a+1≤3且-2a+1≥-4,
即a≤1且a≤$\frac{5}{2}$,
此时满足0<a≤1,
若a<0,要使对?x1∈[-2,2],?x2∈[-2,2],使g(x1)=f(x2)成立,
则满足g(x)max≤f(x)max,且g(x)min≥f(x)min
即-2a+1≤3且2a+1≥-4,
即a≥-1且a≥-$\frac{5}{2}$,
此时满足-1≤a<1,
综上可得-1≤a≤1.

点评 本题主要考查函数与方程之间的关系,利用数形结合是解决本题的关键,本题主要考查的是最值之间的关系,综合性较强,有一定的难度.

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