题目内容
6.如图,平行四边形的顶点A位于双曲线的中心,顶点B位于该双曲线的右焦点,∠ABC为60°,顶点D恰在该双曲线的左支上,若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0,则此双曲线的离心率是( )A. | $\sqrt{5}$ | B. | $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{2}$ | D. | $\frac{5}{2}$ |
分析 由题意,设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0),则D(-c,$\sqrt{3}$c),代入$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$,确定a,c的关系,即可求出双曲线的离心率.
解答 解:由题意,设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0),则D(-c,$\sqrt{3}$c),
代入$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$,
∴c2b2-3a2c2=a2b2,
∴c2(c2-a2)-3a2c2=a2(c2-a2),
∴e4-5e2+1=0,
∴e2=$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$,
∴e=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$.
故选:C.
点评 本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,确定a,c的关系是关键.
练习册系列答案
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A. | $\frac{1}{2k+2}$ | B. | -$\frac{1}{2k+2}$ | C. | $\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$ | D. | $\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$ |
17.椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠BAF=$\frac{5π}{12}$,则该椭圆的离心率为( )
A. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | (x-1)2+y2=5 | B. | (x-1)2+y2=$\frac{9}{2}$ | C. | (x-$\frac{1}{2}$)2+(y-$\frac{1}{2}$)2=5 | D. | (x-$\frac{1}{2}$)2+(y-$\frac{1}{2}$)2=$\frac{9}{2}$ |
18.若f(x)=$\frac{lnx}{x}$,e<b<a,则( )
A. | f(a)>f(b) | B. | f(a)=f(b) | C. | f(a)<f(b) | D. | f(a)f(b)>1 |