Question

5．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．以F₂为圆心，OF₂（O为椭圆中心）为半径作圆F₂，若它与椭圆的一个交点为M，且MF₁恰好为圆F₂的一条切线，求离心率．

Answer 1

分析 根据题意，做出图形，分析易得∠F₁MF₂=90°，且MF₂=c，而F₁F₂=2c，由勾股定理可得MF₁的长，结合椭圆的性质2a=MF₁+MF₂可得a与c的关系，由椭圆离心率公式计算可得答案．

解答 解：如图，根据题意，易得∠F₁MF₂=90°，且MF₂=c，而F₁F₂=2c，
则MF₁=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，
在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，
有2a=MF₁+MF₂=c+$\sqrt{3}$c=（1+$\sqrt{3}$）c，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1，
故该椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查椭圆的基本性质，解答的关键是结合图形分析，找到a、c之间的关系．