Question

5．如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的棱形，∠ABC=60°，AC与BD交于点O，M、N分别是OC、PD的中点，异面直线BD与AN所成角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{5}$． 
（Ⅰ）求PA的长；
（Ⅱ）求二面角A-PM-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AD，AP所在直线为y，z轴建立空间直角坐标系．设PA=b，求出异面直线BD与AN对应的向量，利用异面直线所成角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{5}$．求解求出b．
（Ⅱ）求出平面OMP的一个法向量，设平面PMD的法向量，设二面角A-PM-D的大小为θ，利用瞎了我的数量积求解即可．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）如图，以A为原点，AD，AP所在直线为y，z轴建立空间直角坐标系．
设PA=b，则$P（0，0，b），D（0，4，0），N（0，2，\frac{b}{2}），B（2\sqrt{3}，-2，0）$$\overrightarrow{BD}=（-2\sqrt{3}，6，0），\overrightarrow{AN}=（0，2，\frac{b}{2}）$，
异面直线BD与AN所成角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{5}$． 

可得$cos＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{AN}＞$=$\frac{12}{{\sqrt{48}•\sqrt{4+\frac{b^2}{4}}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{5}⇒b=3$； 
所以PA的长为：3．…（6分）
（Ⅱ）由题意知$\overrightarrow{BD}=（-2\sqrt{3}，6，0）$是平面OMP的一个法向量，$M（\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，0）$
设平面PMD的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PM}=0\end{array}\right.⇒\overrightarrow n=（\frac{{5\sqrt{3}}}{3}，3，4）$
设二面角A-PM-D的大小为θ，则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow n}}{{\overrightarrow{|BD}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{1}{5}$．…（13分）

点评 本题考查空间想的数量积的应用，二面角的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．