题目内容
(12分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在柱上,现要将套在柱上的盘换到柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子可供使用.
现用表示将个圆盘全部从柱上移到柱上所至少需要移动的次数,回答下列问题:
(1)写出 并求出(2)记 求和
(其中表示所有的积的和)
(3)证明:
现用表示将个圆盘全部从柱上移到柱上所至少需要移动的次数,回答下列问题:
(1)写出 并求出(2)记 求和
(其中表示所有的积的和)
(3)证明:
(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)见解析
(1)解:
事实上,要将个圆盘全部转移到柱上,只需先将上面个圆盘转移到柱上,需要
次转移,然后将最大的那个圆盘转移到柱上,需要一次转移,再将柱上的个圆盘转移到柱上,需要次转移,所以有
则 所以
(2)
则
(3)令 则当时
又 所以对一切有:
另方面恒成立,所以对一切有
综上所述有:
事实上,要将个圆盘全部转移到柱上,只需先将上面个圆盘转移到柱上,需要
次转移,然后将最大的那个圆盘转移到柱上,需要一次转移,再将柱上的个圆盘转移到柱上,需要次转移,所以有
则 所以
(2)
则
(3)令 则当时
又 所以对一切有:
另方面恒成立,所以对一切有
综上所述有:
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