题目内容
【题目】已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,它与双曲线:交于点,抛物线的准线过双曲线的左焦点.
(1)求抛物线与双曲线的标准方程;
(2)若斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点,求直线的方程.
【答案】(1)抛物线方程为;双曲线的方程为.(2)直线的方程为或
【解析】
(1)根据抛物线的准线过双曲线的左焦点,可知抛物线开口向右,则设抛物线方程为,代入即可求得抛物线方程;由抛物线方程可得抛物线的准线方程,进而得双曲线的,由双曲线中的关系及代入,解方程可求得,即可得双曲线的标准方程.
(2)讨论直线的斜率和两种情况:当时一定成立,由所过定点坐标可得直线方程;当时,联立直线与抛物线方程,由判别式即可求得斜率,再由点斜式可得直线方程.
(1)因为抛物线的准线过双曲线的左焦点,
设抛物线方程为
由抛物线过,代入可得
解得,所以抛物线方程为
抛物线的准线方程为,所以双曲线的
同时将代入双曲线方程,即 解方程组可得
所以双曲线的标准方程为
(2)斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点
当时,直线方程为,满足题意
当时,直线可设为
则,化简可得
由与直线抛物线只有一个公共点
可得
解得,所以直线的方程为
综上可得直线的方程为或