题目内容
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,离心率为
,椭圆
上的点到焦点距离的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
,且
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)椭圆上的点到焦点距离的最大值为
,且离心率为
,结合
,求得
的值,进而求椭圆方程;
(Ⅱ)直线和圆锥曲线位置关系问题,往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立,根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件,同时要善于利用韦达定理对交点设而不求.设直线的方程为
,与抛物线方程联立得
,因交于两点故
,得
的不等式,设交点
,带入向量式得交点横坐标关系
,再结合韦达定理列方程得
的方程
,与上述不等式联立求实数
的取值范围.
(Ⅰ)设所求的椭圆方程为:.
由题意, 所求椭圆方程为:
.
(Ⅱ)若过点的斜率不存在,则
.
若过点的直线斜率为
,即
时,直线
的方程为
.
由.
于是.
因为和椭圆
交于不同两点,所以
,
,所以
.
①
设.由已知
,则
.
②
, 所以
③
将③代入②, 得.整理得
.
所以, 代入①式, 得
.
即,解得
.所以
或
. 综上可得,实数
的取值范围为
.
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