题目内容
【题目】如图,在四棱锥O﹣ABCD中,OA⊥底面ABCD,且底面ABCD是边长为2的正方形,且OA=2,M,N分别为OA,BC的中点.
(1)求证:直线MN平面OCD;
(2)求点B到平面DMN的距离.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】
(1)构造平面,使之与平面平行,再通过面面平行证明线面平行即可;
(2)通过变换顶点,利用等体积法求得点到平面的距离.
(1)取中点为
,连接
,如下图所示:
在中,因为
分别是
的中点,
故//
;
在正方形中,因为
分别是
的中点,
故//
;
又因为,
平面
,
,
平面
,
故平面//平面
,
又因为平面
,故
//平面
,即证.
(2)连接,如下图所示:
因为点为
中点,故
又因为平面
,且
故.
又在中,容易知
,
故边上的高为
,
故.
设点到平面
的距离为
,
则
解得.
故点到平面
的距离为
.
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