题目内容


19. (本小题满分12分)
如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3,底面是边长为4且∠DAB = 60°的菱形,ACBD = OA1C1B1D1 = O1EO1A的中点.
(1) 求二面角O1BCD的大小;
(2) 求点E到平面O1BC的距离.


 
 

 
60°,


解法一:
(1) 过O作OF⊥BC于F,连接O1F,
OO1⊥面AC,∴BCO1F,
∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,········ 3分
OB = 2,∠OBF = 60°,∴OF =
在Rt△O1OF中,tan∠O1FO =
∴∠O1FO="60°" 即二面角O1BCD的大小为60°············· 6分
(2) 在△O1AC中,OE是△O1AC的中位线,∴OEO1C
OEO1BC,∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交线O1F
OOHO1FH,则OH是点O到面O1BC的距离,··········· 10分
OH = ∴点E到面O1BC的距离等于················ 12分
解法二:
(1) ∵OO1⊥平面AC
OO1OAOO1OB,又OAOB,········· 2分
建立如图所示的空间直角坐标系(如图)
∵底面ABCD是边长为4,∠DAB = 60°的菱形,
OA = 2OB = 2,
A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3)··· 3分
设平面O1BC的法向量为=(xyz),则
,则z = 2,则x=-y = 3,
=(-,3,2),而平面AC的法向量=(0,0,3)········ 5分
∴ cos<>=
O1BCD的平面角为α, ∴cosα=∴α=60°.
故二面角O1BCD为60°.······················ 6分
(2) 设点E到平面O1BC的距离为d
∵E是O1A的中点,∴=(-,0,),············· 9分
则d=
∴点E到面O1BC的距离等于.···················· 12分
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