题目内容
设函数
（常数a,b满足0<a<1,b
R）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意的
，不等式｜
a恒成立，求a的取值范围。
（常数a,b满足0<a<1,bR）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意的
，不等式｜a恒成立，求a的取值范围。（1）f(x)的单调递增区间为(a, 3a)，减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞)
（2）
（2）
解 (1)f′(x)=-x2+4ax-3a2,令f′(x)＞0,
得f(x)的单调递增区间为(a, 3a).
令f′(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞),
∴当x=a时,f(x)极小值=
当x=3a时,f(x)极大值="b."
(2)由|f′(x)|≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.∵0＜a＜1,∴a+1＞2a.
∴f′(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上是减函数.∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1.
f′(x)min=f(a+2)=4a-4.于是,对任意x∈[a+1,a+2],不等式①恒成立，
等价于
解得
又0＜a＜1,∴
得f(x)的单调递增区间为(a, 3a).
令f′(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞),
∴当x=a时,f(x)极小值=
当x=3a时,f(x)极大值="b."
(2)由|f′(x)|≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.∵0＜a＜1,∴a+1＞2a.
∴f′(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上是减函数.∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1.
f′(x)min=f(a+2)=4a-4.于是,对任意x∈[a+1,a+2],不等式①恒成立，
等价于
解得 又0＜a＜1,∴
练习册系列答案
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在
处的切线斜率为零．
和
的值；
恒成立；
有最小值
，且
，求实数
的取值范围.
．
时，求
在区间
上的最值；
上存在单调递增区间，求
的取值范围．
＝
＋
有如下性质：如果常数
＞0，那么该函数在
0，
上是减函数，在
上是增函数．
（
的值；
＋
（常数
＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（常数
（
是正整数）在区间[
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
满足
，当
时有
，则不等式
的解集为（ ）
在
处有极值
。
的值；
的单调区间。
若函数
的图像有三个不同的交点，求实数a的取值范围。
的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，直线
是抛物线
的一条切线。
交椭圆
于A、B两点，若点P满足
（O为坐标原点）， 判断点P是否在椭圆
，
.
依次在
处取到极值.
的取值范围；
，求
，使对任意的
，不等式 
恒成立.求正整数
的最大值