题目内容
已知函数在处的切线斜率为零.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求证:在定义域内恒成立;
(Ⅲ) 若函数有最小值,且,求实数的取值范围.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求证:在定义域内恒成立;
(Ⅲ) 若函数有最小值,且,求实数的取值范围.
(Ⅰ).(Ⅱ)证明:见解析;(Ⅲ) .
(I)根据求出x0和b的值.
(II)利用导数研究出f(x)的最小值,证明f(x)的最小值不小于零即可.
(III)先求出,然后分、和三种情况求其最小值m,根据m>2e,求出a的取值范围.
(Ⅰ)解:.
由题意有即,解得或(舍去).
得即,解得.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,
.在区间上,有;在区间上,有. 故在单调递减,在单调递增,
于是函数在上的最小值是.
故当时,有恒成立.
(Ⅲ)解:.
当时,则,当且仅当时等号成立,故的最小值,符合题意;
当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意;
当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意.综上,实数的取值范围.
(II)利用导数研究出f(x)的最小值,证明f(x)的最小值不小于零即可.
(III)先求出,然后分、和三种情况求其最小值m,根据m>2e,求出a的取值范围.
(Ⅰ)解:.
由题意有即,解得或(舍去).
得即,解得.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,
.在区间上,有;在区间上,有. 故在单调递减,在单调递增,
于是函数在上的最小值是.
故当时,有恒成立.
(Ⅲ)解:.
当时,则,当且仅当时等号成立,故的最小值,符合题意;
当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意;
当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意.综上,实数的取值范围.
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