题目内容
【题目】如图,AC⊥BC,O为AB中点,且DC⊥平面ABC,DC∥BE.已知AC=BC=DC=BE=2.
(1)求直线AD与CE所成角;
(2)求二面角O-CE-B的余弦值.
【答案】(1)60°(2 )
【解析】
(1)先根据题意建立空间直角坐标系,求得向量和向量的坐标,再利用线线角的向量方法求解.
(2)易知平面BCE的一个法向量为=(0,1,0),再求得平面OCE的一个法向量,利用面面角的向量方法求解.
(1)因为AC⊥CB且DC⊥平面ABC,
则以C为原点,CB为x轴正方向,CA为y轴正方向,CD为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AC=BC=BE=2,
则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),D(0,0,2)
所以 =(0,-2,2),=(2,0,2)
所以cos〈,〉= ==.
所以直线AD和CE的夹角为60°.
(2) 易知平面BCE的一个法向量为=(0,1,0),
设平面OCE的法向量=(x0,y0,z0).
由=(1,1,0),=(2,0,2)且⊥,⊥,
得则
解得
取x0=-1,则=(-1,1,1).
因为二面角O-CE-B为锐二面角,记为θ,
则cosθ=|cos〈,〉|==.
【题目】“大湖名城,创新高地”的合肥,历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生,在某旅行社实习期间,把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中,随机抽取了100所学校,统计如下:
研学游类型 | 科技体验游 | 民俗人文游 | 自然风光游 |
学校数 | 40 | 40 | 20 |
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中,随机抽取了3所学校,并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响):
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率;
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.