题目内容
【题目】(2017高考新课标Ⅲ,理19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)利用题意证得二面角的平面角为90°,则可得到面面垂直;
(2)利用题意求得两个半平面的法向量,然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为.
试题解析:(1)由题设可得,,从而
.
又是直角三角形,所以
.
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于是正三角形,故
.
所以为二面角
的平面角.
在中,
.
又,所以
,
故.
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知,两两垂直,以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
.则
.
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的
,即E为DB的中点,得
.
故.
设是平面DAE的法向量,则
即
可取.
设是平面AEC的法向量,则
同理可取
.
则.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
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