Question

【题目】如图，在空间直角坐标系O-xyz中，已知正四棱锥PABCD的高OP＝2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB＝ ，点M是棱PC的中点．

（1）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；

（2）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）－.

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量的坐标和平面PAB的一个法向量，再利用线线角的向量方法求解.

（2）由（1）知平面PAB的一个法向量，再求得平面PBC的一个法向量，利用面面角的向量方法求解.

（1）建立如图所示空间直角坐标系

记直线AM与平面PAB所成角为，

则A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，M，

则＝(1，1，0)，＝(0，－1，－2)，＝.

设平面PAB的法向量为＝(x,y,z)，

所以即

令x＝2，则y＝－2，z＝1，

所以平面PAB的一个法向量为＝(2，－2，1)，

所以sinα＝|cos〈，〉|＝＝＝.

即直线AM与平面PAB所成角的正弦值为.

（2）设平面PBC的法向量为＝(x1，y1，z1)，＝(－1，1，0)，＝(1，0，－2)．

由即

令x1＝2，则y1＝2，z1＝1，所以平面PBC的一个法向量为＝(2，2，1)，

所以cos〈，〉＝＝＝.

由图可知二面角A-PB-C为钝角，故二面角的余弦值为－.