题目内容
【题目】如图,在四棱锥PABCD中,AP,AB,AD两两垂直,BC∥AD,且AP=AB=AD=4,BC=2.
(1)求二面角P-CD-A的余弦值;
(2)已知H为线段PC上异于C的点,且DC=DH,求的值.
【答案】(1)(2)
=
.
【解析】
(1)先根据题意建立空间直角坐标系,分别求得平面PCD的一个法向量,平面ACD的一个法向量,再利用面面角的向量方法求解.
(2)由题意设=λ
=(4λ,2λ,-4λ),所以
=
+
=(4λ,2λ-4,4-4λ),又因为DC=DH,再根据
求解.
(1)根据题意,以为正交基底,建立如图所示空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).
所以=(0,-4,4),
=(4,-2,0).
设平面PCD的法向量为=(x,y,z),
则即
令x=1,
则y=2,z=2.所以平面PCD的一个法向量为=(1,2,2)
平面ACD的一个法向量为=(0,0,1),
所以cos〈,
〉=
=
,
且由图可知二面角为锐二面角,
所以二面角P-CD-A的余弦值为
(2) 由题意可知=(4,2,-4),
=(4,-2,0),
设=λ
=(4λ,2λ,-4λ),
则=
+
=(4λ,2λ-4,4-4λ),
因为DC=DH,所以=
,
化简得3λ2-4λ+1=0,
所以λ=1或λ=.
又因为点H异于点C,
所以λ=,
即=
.
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