Question

【题目】已知函数.

（1）当且时，求函数的单调区间；

（2）当时，若函数的两个极值点分别为、，证明.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为，；无单调递减区间；（2）证明见解析.

【解析】

(1)求得，分类讨论，即可求解的单调区间，得到答案；

(2)根据是函数的两个零点，设是方程的两个实数解，再根据二次函数的性质函数在处取得极大值,在处取得极小值，进而得到，代入得，令，则，得到，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．

(1)由题意，当时，，，

①当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增；

②当时，记，则，

所以当时，，∴单调递减，且；

当时，，单调递增，且，

所以当时，，函数单调递增.

综上所述，函数的单调递增区间为，；无单调递减区间.

(2)由，

，

是函数的两个零点，

是方程的两个实数解，

由，且，得，则有，

不妨设，

又，即得，

，，

即得，从而得到，

，且，

由二次函数的图象及性质知函数在处取得极大值,在处取得极小值.

， （*）

又为方程的根，，

代人(*)式得，

令，则，，

设，，，单调递减，

从而有，.

，即得证.