Question

15．一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：

类别	A	B	C
数量	4	3	2

同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展．
（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；
（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可．
（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，$P=\frac{c_4^2+c_3^2+c_2^2}{c_9^2}=\frac{6+3+1}{36}=\frac{5}{18}$----------------------（4分）
（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4．----------------------（6分）
∴$p（ξ=4）=\frac{c_4^4}{c_9^4}=\frac{1}{126}$，
∴$P（ξ=3）=\frac{C_4^3C_5^1+C_3^3C_6^1}{C_9^2}=\frac{20+6}{126}=\frac{13}{63}$，
∴$P（ξ=2）=1-P（ξ=4）-P（ξ=3）=1-\frac{1}{126}-\frac{26}{126}=\frac{99}{126}=\frac{11}{14}$，
∴其分布列为：

ξ	2	3	4
p	$\frac{11}{14}$	$\frac{13}{63}$	$\frac{1}{126}$

----------------------（10分）
数学期望为$Eξ=2×\frac{11}{14}+3×\frac{13}{63}+4×\frac{1}{126}=\frac{20}{9}$----------------------（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，古典概型的概率的求法，考查计算能力．