Question

12．已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=$\frac{1}{2}$，则f（x）=0在区间[0，2014]内根的个数为2014．

Answer 1

分析 由题意可判断f（x）的周期为2，且图象关于x=1对称，从而可得方程f（x）=0的根为x=k+$\frac{1}{2}$，k∈Z；从而求得．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x）的周期为2，
又∵f（x）=f（-x+2），
∴f（x）的图象关于x=1对称，
又∵方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=$\frac{1}{2}$，
∴方程f（x）=0在[1，2]内有且只有一个根x=$\frac{3}{2}$，
故方程f（x）=0的根为x=k+$\frac{1}{2}$，k∈Z；
故f（x）=0在区间[0，2014]内根的个数为2014．
故答案为：2014．

点评 本题考查了方程的根与函数的性质的关系应用，属于中档题．