题目内容
17.已知$\overrightarrow{a}$=(3cosα,3sinα),向量$\overrightarrow{b}$=(4cosβ,4sinβ),|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{7}$,求向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角θ以及(2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$)(3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)的值.分析 首先求出两个向量的模以及数量积,通过|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{7}$两边平方,求出数量积,利用数量积公式求夹角以及(2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$)(3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)的值.
解答 解:因为$\overrightarrow{a}$=(3cosα,3sinα),向量$\overrightarrow{b}$=(4cosβ,4sinβ),
所以|$\overrightarrow{a}$|=3,|$\overrightarrow{b}$|=4,$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=12sin(α+β),
|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|2=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=28,
即36+16+48sin(α+β)=28,所以sin(α+β)=-$\frac{1}{2}$,
所以向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角θ的余弦值为cosθ=$-\frac{1}{2}$,θ=120°;
(2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$)(3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=6${\overrightarrow{a}}^{2}$-4${\overrightarrow{b}}^{2}$-10$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=54-64+60=50.
点评 本题考查了平面向量的数量积公式求平面向量的夹角以及平面向量的运算,关键是熟练运用公式.
A. | (-$\frac{π}{2},-\frac{π}{6}$)∪($\frac{π}{6},\frac{π}{2}$) | B. | (-$\frac{π}{6},0$)∪(0,$\frac{π}{6}$) | C. | (-$\frac{π}{6},0$)∪($\frac{π}{6},\frac{π}{2}$) | D. | (-$\frac{π}{2},-\frac{π}{6}$)∪(0,$\frac{π}{6}$) |
A. | 13项 | B. | 14项 | C. | 26项 | D. | 27项 |