Question

12．过P（1，2）的l与⊙C：（x-2）²+（y-1）²=9相交于A，B，S_△ABC的最大值为$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 设C到l的距离为d，则0＜d≤$\sqrt{2}$．AB=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{9-{d}^{2}}$．∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•d=d$\sqrt{9-{d}^{2}}$．令f（d）=d$\sqrt{9-{d}^{2}}$，则f（d）的最大值即为三角形面积的最大值．

解答 解：由圆的方程可知⊙C半径r=3，圆心为C（2，1）．
∴PC=$\sqrt{（1-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
设C到l的距离为d，则0＜d≤$\sqrt{2}$．
由垂径定理得AB=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{9-{d}^{2}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•d=d$\sqrt{9-{d}^{2}}$．
令f（d）=d$\sqrt{9-{d}^{2}}$．
f′（d）=$\frac{18d-4{d}^{3}}{2\sqrt{9{d}^{2}-{d}^{4}}}$，
∵0＜d≤$\sqrt{2}$．
∴f′（d）＞0
∴f（d）在（0，$\sqrt{2}$]上为增函数，
∴当d=$\sqrt{2}$时，f（x）取得最大值f（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{14}$．
故答案为：$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，涉及函数的最值问题．