Question

7．已知圆x²+y²=4，圆内定点P（1，0），过P作两条互相垂直的弦AC和BD，设AC的倾斜角为可α（0$≤α＜\frac{π}{2}$）．
（1）求四边形ABCD的面积S；
（2）当S取最大值时，求α及最大面积．

Answer 1

分析 （1）分别求出两条弦所在直线的点斜式方程，利用圆的弦长公式，求出AC和BD，再由S=$\frac{1}{2}$AC•BD得到答案；
（2）根据（1）中函数解析式，令t=$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，结合二次函数的图象和性质，可得S取最大值时，α及最大面积的值．

解答 解：（1）∵AC的倾斜角为可α（0$≤α＜\frac{π}{2}$）．
当a=0时，AC即为x²+y²=4的直径，
此时AC=4，BD=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$AC•BD=4$\sqrt{3}$；
当a≠0时，设AC的斜率为k，则BD的斜率为$-\frac{1}{k}$，
则直线AC和BD的方程分别为：y=k（x-1）和y=$-\frac{1}{k}$（x-1），
即kx-y-k=0和x+ky-1=0，
此时圆心到AC和BD的距离分别为：$\frac{k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$和$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
故AC=$2\sqrt{{2}^{2}-（\frac{k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4+3{k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$，BD=$2\sqrt{{2}^{2}-{（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$，
故四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$AC•BD=2$\frac{\sqrt{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}{1{+k}^{2}}$，
当k=0时，满足S=2$\frac{\sqrt{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}{1{+k}^{2}}$，
故S=2$\frac{\sqrt{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}{1{+k}^{2}}$，
（2）∵S=2$\frac{\sqrt{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}{1{+k}^{2}}$=2$\sqrt{-（\frac{1}{{k}^{2}+1}）^{2}+\frac{1}{{k}^{2}+1}+12}$，
令t=$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，则t∈（0，1]，S=2$\sqrt{-{t}^{2}+t+12}$，
则当t=$\frac{1}{2}$，即k=1，α=$\frac{π}{4}$时，S取取最大值7

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，函数的最大值，难度中档．