Question

3．已知O为△ABC的外心，$AB=2AC=2，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-1$，若$\overrightarrow{AO}={x_1}\overrightarrow{AB}+{x_2}\overrightarrow{AC}$，则x₁+x₂的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{11}{6}$
• C． 2
• D． $\frac{13}{6}$

Answer 1

分析 如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$．由$\overrightarrow{AO}={x_1}\overrightarrow{AB}+{x_2}\overrightarrow{AC}$，两边分别作数量积运算即可得出．

解答 解：如图所示，
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{AO}={x_1}\overrightarrow{AB}+{x_2}\overrightarrow{AC}$，
∴$2={x}_{1}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+${x}_{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，$\frac{1}{2}$=${x}_{1}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+${x}_{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-1，
化为4x₁-x₂=2，-x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，
解得x₁=$\frac{5}{6}$，x₂=$\frac{4}{3}$．
∴x₁+x₂=$\frac{13}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了数量积运算性质、圆的垂经定理、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．