Question

4．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD将正方形翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直

（1）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（2）求三棱锥D-BEF的体积V．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；
（2）根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥D-BEF的体积V．

解答 解：（1）证明：在△ABC中，有$CD=2，BC=BD=\sqrt{2}$得 CB⊥BD，…（2分）
又由平面ADEF⊥平面ABCD，且AD⊥ED，
有ED⊥ABCD，得 CB⊥ED，…（4分）
∵BD∩ED，则BC⊥平面BDE，
∵BC?平面BEC，
故平面BDE⊥平面BEC．…（6分）
（2）由平面ADEF⊥平面ABCD，且AD⊥AB，
得AB⊥平面ADEF，
则 $V={V_{D-BEF}}={V_{B-DEF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．…（12分）

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及三棱锥体积的计算，考查学生的运算和推理能力．