题目内容
4.如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1,现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿AD将正方形翻折,使平面ADEF与平面ABCD互相垂直(1)求证:平面BDE⊥平面BEC;
(2)求三棱锥D-BEF的体积V.
分析 (1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC;
(2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥D-BEF的体积V.
解答 解:(1)证明:在△ABC中,有$CD=2,BC=BD=\sqrt{2}$得 CB⊥BD,…(2分)
又由平面ADEF⊥平面ABCD,且AD⊥ED,
有ED⊥ABCD,得 CB⊥ED,…(4分)
∵BD∩ED,则BC⊥平面BDE,
∵BC?平面BEC,
故平面BDE⊥平面BEC.…(6分)
(2)由平面ADEF⊥平面ABCD,且AD⊥AB,
得AB⊥平面ADEF,
则 $V={V_{D-BEF}}={V_{B-DEF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$.…(12分)
点评 本题主要考查面面垂直的判定以及三棱锥体积的计算,考查学生的运算和推理能力.
练习册系列答案
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12.已知直线l1:ax+y=1和直线l2:9x+ay=1,则“a+3=0”是“l1∥l2”的( )
A. | 充要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分不必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
13.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,4},则A∩(∁UB)=( )
A. | {1,2,3,5} | B. | {2,4} | C. | {1,3} | D. | {2,5} |
14.已知α为第二象限角,cos2α=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$,则sinα-cosα=( )
A. | $\frac{\sqrt{15}}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C. | -$\frac{\sqrt{15}}{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{9}$ |