题目内容

4.如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1,现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿AD将正方形翻折,使平面ADEF与平面ABCD互相垂直

(1)求证:平面BDE⊥平面BEC;
(2)求三棱锥D-BEF的体积V.

分析 (1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC;
(2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥D-BEF的体积V.

解答 解:(1)证明:在△ABC中,有$CD=2,BC=BD=\sqrt{2}$得 CB⊥BD,…(2分)
又由平面ADEF⊥平面ABCD,且AD⊥ED,
有ED⊥ABCD,得 CB⊥ED,…(4分)
∵BD∩ED,则BC⊥平面BDE,
∵BC?平面BEC,
故平面BDE⊥平面BEC.…(6分)
(2)由平面ADEF⊥平面ABCD,且AD⊥AB,
得AB⊥平面ADEF,
则 $V={V_{D-BEF}}={V_{B-DEF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$.…(12分)

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及三棱锥体积的计算,考查学生的运算和推理能力.

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