题目内容

19.若非零向量$(\overrightarrow a-\overrightarrow b).(\overrightarrow a+\overrightarrow b)=0,|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}$|,则$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$.

分析 由已知,得到两个向量的模相等,将已知等式两边平方,得到两个向量的数量积,进一步求夹角.

解答 解:非零向量$(\overrightarrow a-\overrightarrow b).(\overrightarrow a+\overrightarrow b)=0,|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}$|,
所以$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$,
所以${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$,
2$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>$=|$\overrightarrow{a}$|2
所以cos<$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$>=$\frac{1}{2}$,
所以$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$;
故答案为:$\frac{π}{3}$

点评 本题考查了向量的运算以及向量是数量积公式求向量的夹角;属于基础题.

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