Question

19．若非零向量$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）．（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=0，|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}$|，则$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知，得到两个向量的模相等，将已知等式两边平方，得到两个向量的数量积，进一步求夹角．

解答 解：非零向量$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）．（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=0，|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}$|，
所以$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，
所以${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，
2$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=|$\overrightarrow{a}$|²，
所以cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$；
故答案为：$\frac{π}{3}$

点评 本题考查了向量的运算以及向量是数量积公式求向量的夹角；属于基础题．