Question

20．在△ABC内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a，b，c成等差数列，且 a=2c，S_△ABC=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，则b的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 由等差数列的性质可得a+c=2b，结合条件a=2c，用b表示a，c，由余弦定理可得cosB，进而得到sinB，再由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$acsinB，计算即可得到b=3．

解答 解：a，b，c成等差数列，
可得a+c=2b，
由a=2c，可得3c=2b，
即有a=$\frac{4}{3}$b，c=$\frac{2}{3}$b，
由余弦定理，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{\frac{16}{9}{b}^{2}+\frac{4}{9}{b}^{2}-{b}^{2}}{2•\frac{4}{3}b•\frac{2}{3}b}$=$\frac{11}{16}$，
sinB=$\sqrt{1-（\frac{11}{16}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，
由S_△ABC=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，可得：
$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$b•$\frac{2}{3}$b•$\frac{3\sqrt{15}}{16}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
解得b=3．
故选：C．

点评 本题考查等差数列的性质，余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．