题目内容
11．已知实数a＞1，若函数y=a${\;}^{\frac{x}{e}}$的图象与函数y=elogax的图象有两个不同的交点，则a的取值范围为（1，e）．分析 若函数y=a${\;}^{\frac{x}{e}}$=$（\root{e}{a}）^{x}$的图象与函数y=elogax=${log}_{\root{e}{a}}x$的图象有两个不同的交点，y=$（\root{e}{a}）^{x}$=x有两个解即可，构造函数h（x）=$（\root{e}{a}）^{x}$-x，只须h（x）的最小值小于0，进而得到实数a的取值范围．
解答 解：若函数y=a${\;}^{\frac{x}{e}}$=$（\root{e}{a}）^{x}$的图象与函数y=elogax=${log}_{\root{e}{a}}x$的图象有两个不同的交点，
只需要讨论与y=$（\root{e}{a}）^{x}$=x有两个解即可，
令h（x）=$（\root{e}{a}）^{x}$-x，则函数h（x）有两个零点，
令h′（x）=$（\root{e}{a}）^{x}$ln$\root{e}{a}$-1=0，则x=${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$，
当0＜x＜${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数；
当x＞${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；
故当x=${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$时，函数h（x）取最小值，
若函数h（x）有两个零点，则h（${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$）＜0，
即${（\root{e}{a}）}^{{log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}}$＜${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{e}$，
即$\frac{1}{ln\root{e}{a}}$=${log}_{\root{e}{a}}e$＜${log}_{\root{e}{a}}\frac{1}{ln\root{e}{a}}$，
即e＜$\frac{1}{ln\root{e}{a}}$，
即0＜ln$\root{e}{a}$＜$\frac{1}{e}$，
即1＜$\root{e}{a}$＜$\root{e}{e}$，
即1＜a＜e，
故实数a的取值范围是（1，e），
故答案为：（1，e）
点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，反函数，导数法判断函数的单调性，导数法求函数的最值，对数的运算性质，是指数函数，对数函数，函数零点，导数等的综合应用，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．
| A． | （-$\frac{π}{12}$，0） | B． | （$\frac{π}{12}$，0） | C． | （-$\frac{π}{6}$，0） | D． | （$\frac{π}{6}$，0） |
| A． | {-1，-2，-3，1} | B． | {-1，0，1} | C． | {-1，-3} | D． | {-2，-3} |