Question

8．已知函数f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0，a≠）为R上的奇函数，且f（1）=$\frac{3}{2}$
（1）试求函数f（x）的解析式并判断其单调性（不要求证明）
（2）解不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0与f（1）=$\frac{3}{2}$联立方程组解出函数的解析式f（x）=2^x-2^-x，然后判断出函数的单调性．
（2）综合利用奇偶性和单调性去函数符号求解；
（3）当t∈[1，2]时，${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}）$+m（${2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，利用分离参数法可得m≥-（2^2t+1），根据t∈[1，2]，可得m的取值范围是[-5，+∞）．

解答 解：（1）由函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，得k-1=0，解得k=1，
则f（x）=a^x-a^-x，
又∵f（1）=$\frac{3}{2}$，即a-a^-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$（舍去）或a=2，
∴f（x）=2^x-2^-x，
函数y=2^x和y=-2^-x都是R上的增函数，则f（x）=2^x-2^-x为R上的增函数，
（2）不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0
移项得f（x²+2x）＞-f（x-4），
∵函数f（x）=2^x-2^-x在R上为奇函数，
∴f（x²+2x）＞f（4-x），
∵函数f（x）=2^x-2^-x在R上为增函数，
∴x²+2x＞4-x，
解之得x＞1，或x＜-4．
即不等式的解集为{x|x＞1，或x＜-4}．
（3）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0可化为${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}）$+m（${2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．
∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）．
∵t∈[1，2]，
∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范围是[-5，+∞）．

点评 本题考查解不等式，考查恒成立问题，根据条件先求出函数的解析式是解决本题的关键．，对应恒成立问题，解题的关键是分离参数．