题目内容

5.在锐角△ABC中,A=2B,则$\frac{a}{b}$的取值范围是(  )
A.$(0,\sqrt{2})$B.$(\sqrt{2},\sqrt{3})$C.$(\sqrt{3},2)$D.$(\sqrt{2},2)$

分析 利用正弦定理列出关系式,将A=2B代入,利用二倍角的正弦函数公式化简,约分得到结果为2cosB,根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形,求出B的范围,进而确定出cosB的范围,即可得出所求式子的范围.

解答 解:∵A=2B,
∴根据正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得:$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$=$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB,
∵A+B+C=180°,
∴3B+C=180°,即C=180°-3B,
∵C为锐角,
∴30°<B<60°,
又0<A=2B<90°,
∴30°<B<45°,
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$<cosB<$\frac{\sqrt{3}}{2}$,即$\sqrt{2}$<2cosB<$\sqrt{3}$,
则$\frac{a}{b}$的取值范围是($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$).
故选:B.

点评 此题考查了正弦定理,余弦函数的图象与性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,属于中档题.

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